对称矩阵合同对角化(怎么合同对角化)

• 1. n阶矩阵对角化的条件是有不同的特征值吗？
• 2. 不对称矩阵和对称矩阵一定不合同吗？
• 3. 【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化？
• 4. 两矩阵等价其行秩相等吗？
• 5. 什么样的矩阵必不可相似对角化？
• 6. a矩阵和b矩阵相似的性质？
• 7. 为什么实对称矩阵必可相似对角化？

1、n阶矩阵对角化的条件是有不同的特征值吗？

矩阵可以相似对角化，这是矩阵可以相似对角化的充要条件之一。

总结来说一般有以下几个充要条件

1.特征值重数=n－R(λiE-A)，这个一般用的比较多。比如3阶矩阵特征值为1,2,2 即2为A的二重特征值，那么如果3－R(2E-A)=2,此时我们只需要求出矩阵(2E-A)的秩是否为1，即可判断这个矩阵能否对角化。

2.n阶矩阵有n个不同的特征值。

3.n阶矩阵有n个无关的特征向量，第2点也间接的回答了第3点，因为不同特征值对应的特征向量是无关的，于是n个不同特征值自然对应n个无关的特征向量。

4.实对称矩阵必可相似对角化，即关于对角线对称的矩阵，且特征值为实数。

2、不对称矩阵和对称矩阵一定不合同吗？

不合同。

特征值相同，不一定相似，也不一定合同。 但是:

1）如果都是对称矩阵，那么特征值相同，能推出合同

2）如果两矩阵都可以相似对角化，则两矩阵特征值相同，能推出相似

3、【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化？

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。 实际判断方法：

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。 此外，实对称矩阵一定可对角化。

4、两矩阵等价其行秩相等吗？

两矩阵秩相等，则两矩阵等价 对不对

还要加上同型。两个同型矩阵的秩相等，那么两个矩阵等价。

还有一个问题，若A，B均为n阶对称矩阵，且A与B的惯性指数相同，则A与B合同。对吗？如果仅告诉了A，B为n阶矩阵，又对不对呢？

第一，A与B的惯性指数相同，必须要正惯性指数和负惯性指数均相同。

第二，一般来说正负惯性指数均相同，并不能保证A，B合同，比如A为二阶零矩阵，而B=

0 1

0 0

那么A只能和0矩阵合同，显然不与B合同。但他们的正负惯性指数均为0.

通常情况下，正负惯性指数均相同，推导出合同的，一般来说需要A，B可对角化（实对称矩阵可对角化）。

5、什么样的矩阵必不可相似对角化？

不可相似对角化的矩阵通常具有以下特征:

1. 矩阵不是对称矩阵。相似对角化要求矩阵必须是实矩阵,而实矩阵的充要条件是矩阵必须是对称矩阵。所以非对称矩阵一定不可相似对角化。

2. 矩阵的特征值不全是实数。相似对角化要求矩阵可以通过实数矩阵相似变换对角化,而实数矩阵的变换只能保持特征值的实部,无法消除虚部。所以非全部特征值都是实数的矩阵不可相似对角化。

3. 矩阵的特征向量不是线性无关的。在相似变换下,矩阵的特征向量也会发生变化,如果原矩阵的特征向量之间线性相关,那么经过变换后新矩阵的特征向量也依然线性相关,无法构成对角矩阵的特征向量,所以这种矩阵不可相似对角化。

4. 矩阵的秩等于矩阵阶数m,但特征值的个数小于m。相似对角化要求特征值出现的个数等于矩阵的阶数,否则无法通过线性变换得到对角矩阵。所以特征值个数小于矩阵阶数的矩阵不可相似对角化。

5. 矩阵至少有一个特征值的重数大于1。如果矩阵有重特征值,那么相似变换下得到的特征向量之间也会存在线性相关关系,无法构成对角矩阵的特征向量,所以这种矩阵也不可相似对角化。

总之,不可相似对角化的矩阵主要包括:非对称矩阵、特征值非实数矩阵、特征向量线性相关矩阵、特征值个数小于矩阵阶数矩阵、存在重特征值的矩阵。只要矩阵具备以上至少一个特征,就不可实施相似对角化。

一个矩阵必须满足两个条件才不能相似对角化：首先，矩阵必须不是方阵，即矩阵的行数和列数不相等；其次，矩阵的列空间和行空间必须不相等。如果一个矩阵不满足这两个条件之一或二者都满足，则可以相似对角化。

对于一个矩阵来说，当它的特征多项式不可分解时，它必不可相似对角化。这是因为能被相似对角化的矩阵必须满足特征多项式的根是唯一的，而不可分解的特征多项式的根无法分解成可相似对角化的矩阵。相似对角化在矩阵理论和线性代数中占有重要地位，可以对矩阵的性质和行为进行简单的描述和分析。因此，矩阵能否被相似对角化对于矩阵的研究和应用非常重要。

6、a矩阵和b矩阵相似的性质？

1、性质不同 如果矩阵A与矩阵B的任何一处特征相同，那么就可以称矩阵A与B相似。而只有当矩阵A与矩阵B所有的特征完全相同、完全吻合的情况下，才可称之为矩阵A与矩阵B等价。

2、特点不同 矩阵A与B相似的特点是具有传递性与对称性，而矩阵A与B等价的特点是具有全等性。

相似则特征多项式相同,特征值相同,行列式相等,迹相等,秩相等

合同则秩相等

两者不能互推高校网

但在可对角化前提下,相似必合同

7、为什么实对称矩阵必可相似对角化？

这要从变换的角度来理解。左乘初等矩阵，是对行作初等变换，再右乘这个初等矩阵的转置，是对列作“对称”的初等变换，因为矩阵是对称的，所以这样做一定最后可以把它对角化。



1、比如假设对称矩阵（1,1）位置的元素不为0，先用行初等变换通过第一行把第三行的第一个元素消为0，那么在右乘这个变换对应矩阵的转置后，则一定会把第三列的第一个元素消为0。



2、实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。



3、判断一个矩阵是否可对角化：先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化。如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k,则A不可对角化。