正定二次型判断方法(怎么判断正定二次型)

• 1. 二次型的规范型系数先后顺序？
• 2. 线性代数，已知二次型，怎么求对应矩阵？
• 3. 正定矩阵是什么？
• 4. 正定矩阵的问题？
• 5. 正定二次型研究价值意义？
• 6. 什么是二次型？

1、二次型的规范型系数先后顺序？

这个顺序其实就是对角阵当中的特征值的顺序，而特征值的顺序与相似变换矩阵当中的特征向量的顺序相对应。

要注意一点，正交变换是找P使，P^TAP=B，其中B是对角阵，这里P里面的列向量为特征向量，顺序要与你的特征值一致。画红线上面的那个矩阵就是X=PY矩阵形式，最后得出的二次型，y前面的系数其实是前面二次型矩阵所对应的四个特征值-1，1，1，1。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

2、线性代数，已知二次型，怎么求对应矩阵？

设二次型对应矩阵为A，项为aij，带平方的项，按照1 2 3 分别写在矩阵 a11,a22,a33然后A是对称矩阵，所以x1x2的系数除以二分别写在a12,a21x1x3除以二分别写在a13 a31x2x3除以二分别写在a23 a32扩展资料二次型确定：假定Q是定义在实数向量空间上的二次形式。它被称为是正定的（或者负定的），如果Q(v)>0 (或者Q(v)0对于另一个v，则Q被称为不定的。

设A是如上那样关联于Q的实数对称矩阵，所以对于任何列向量v，成立。

接着，Q是正（半）定的，负（半）定的，不定的，当且仅当矩阵A有同样的性质。

最终，这些性质可以用A的特征值来刻画。

3、正定矩阵是什么？

正定矩阵:是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

4、正定矩阵的问题？

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令a为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称a负定（半负定）矩阵。高校网

例如，单位矩阵e 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在u使 即 有 这就证明了a正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。

证明：a正定 二次型 正定 a的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵u使 ；进一步有 （b为正定（半正定）矩阵）。

证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使 令 则 令 则 反之， ∴a正定。

同理可证a为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素 ，且 。

证明：

（1）∵n阶对称矩阵a正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有 ∴ ∴a正定 ∴存在可逆矩阵c ，使 5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即a的顺序主子式全大于零。

5、正定二次型研究价值意义？

研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等有重要意义。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。

6、什么是二次型？

线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

二次型（quadratic form）：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。